Quasi-cirkels
Op de voorgaande pagina's hebben we enkele keren gezien, dat er "cirkels" verschijnen, ook al hebben we alleen maar rechte lijnen getekend. Laten we dit eens omdraaien: is het mogelijk om (tenminste benaderingen van) cirkels te tekenen met rechte lijnen? Ja, natuurlijk kan dat! Dat betekent het tekenen van veelhoeken, waarvan de hoekpunten op – of dicht bij – een cirkel liggen. Maar de beperkende factor is ons ruitjespapier: de lijnen moeten beginnen en eindigen in een rasterpunt. Nou wordt het interessanter. Door de jaren heen heb ik veel geëxperimenteerd met cirkelbenaderende veelhoeken. Het resultaat was een zo grote hoeveelheid tekeningen, dat ik denk, dat ik ze in groepen moet indelen, juist nu ik met de Galerie ben begonnen.
Dus laten we de mogelijkheden cirkels te benaderen met niet al te lange, door het raster beperkte, rechte lijnen onderzoeken. Ofwel, welke van deze quasi-cirkels lopen door of bijna door (meer dan vier) rasterpunten? Dat betekent, dat de straal R van zo'n cirkel aan de stelling van Pythagoras moet voldoen: R² = x² + y², waarbij x en y gehele getallen zijn. In de volgende tabel is de grootte van R² weergegeven voor elk paar gehele waarden van x en y tot en met 10.


Tabel 1.   R² voor elk paar gehele waarden van x en y
x 012345678910
0149162536496481100
y
0001491625364964 81100
1125101726375065 82101
248132029405368 85104
39182534455873 90109
4163241526580 97116
52550617489 106125
6367285100117 136
74998113130 149
864 128145164
981162181
10100200

Nu moeten we stralen, die gelijk of nagenoeg gelijk zijn, zien te vinden. Dat kan het eenvoudigst door alle waarden van R² in oplopende volgorde te zetten, zodat de gelijke en bijna gelijke waarden bij elkaar komen te staan. Tabel 2 laat dit zien. Volgend op de kolom van R² staan de bijbehorende waarden van x en y weergegeven, gevolgd door een "cirkel nummer" samen met de relevante eigenschappen (tenminste, als dit van toepassing is – "geen geschikte cirkel" betekent, dat de zijden van een eventuele veelhoek te ver van de cirkelrand afliggen), plus een voorbeeld van hoe het eruitziet op ruitjespapier. Soms is een alternatief mogelijk met dezelfde eigenschappen.
Sommige van de quasi-cirkels zijn "exact" in die zin, dat de hoekpunten exact op een cirkel liggen; deze zijn weergegeven met een gestippelde cirkel. Voor het merendeel zijn waarden van R², die niet meer dan 2 van elkaar verschillen, gecombineerd, maar quasi-cirkels met een verschil in R² van meer dan 2 komen ook voor in de Galerie, en ook veelhoeken met meer dan 2 verschillende stralen – vooral de grootste. Het is geenszins noodzakelijk om op ruitjespapier op de rasterpunten te blijven. Er zijn een aantal quasi-cirkels, die van halve hokjes gebruik maken. Daarom zijn aan sommige veelhoeken in tabel 2 ook die met halve waarden toegevoegd.
In de Galerie worden de verschillende quasi-cirkels binnen hun eigen "familie" bij elkaar gezet.


Tabel 2.   Alle geschikte quasi-cirkels voor de waarden van R²
  x y  beschikbare quasi-cirkel  voorbeeld quasi-cirkel

110 (geen geschikte cirkel)
211 (geen geschikte cirkel)
420 (geen geschikte cirkel)
521 "Cirkel 1", straal 2x1 Cirkel 1
822 "Cirkel 2", stralen 2x2 en 3x0 Cirkel 2
930
1031 "Cirkel 3", straal 3x1 Cirkel 3
1332 (geen geschikte cirkel)
1640 "Cirkel 4", stralen 4x0 en 3x3 Cirkel 4
1833
1741 "Cirkel 5", stralen 4x1 en 3x3 Cirkel 5
1833
Alternatief
1741 "Cirkels 6", stralen 4x1 en 3x3 Cirkels 6
1833
2042 "Cirkel 7", dubbele van "Cirkel 1" Cirkel 7
2543 "Cirkel 8", stralen 4x3 en 5x0 Cirkel 8
2550
Alternatief
2543 "Cirkels 9", stralen 4x3 en 5x0 Cirkels 9
2550
2543 "Cirkel 10", stralen 4x3 en 5x1 Cirkel 10
2651
Alternatief
2543 "Cirkels 11", stralen 4x3 en 5x1 Cirkels 11
2651
2952 "Cirkel 12", straal 5x2 Cirkel 12
3244 "Cirkel 13", stralen 4x4 en 6x0 Cirkel 13
3660
3453 "Cirkel 14", stralen 5x3 en 6x0 Cirkel 14
3660
3453 "Cirkel 15", stralen 5x3 en 6x1 Cirkel 15
3761
4062 "Cirkel 16", stralen 6x2 en 5x4 Cirkel 16
4154
4154 "Cirkel 17", stralen 5x4 en 7x0 Cirkel 17
4970
4563 "Cirkel 18", drievoudige van "Cirkel 1" Cirkel 18
4970 "Cirkel 19", stralen 7x0 en 5x5 Cirkel 19
5055
5055 "Cirkel 20", stralen 5x5 en 7x1 Cirkel 20
5071
Halve grootte van "Cirkel 20", stralen 2,5x2,5 en 3,5x0,5 Halve grootte van Cirkel 20
Alternatief
5055 "Cirkels 21", stralen 5x5 en 7x1 Cirkels 21
5071
5071 "Cirkel 22", stralen 7x1 en 6x4 Cirkel 22
5264
5264 "Cirkel 23", stralen 6x4 en 7x2 Cirkel 23
5372
5873 "Cirkel 24", straal 7x3 Cirkel 24
Halve grootte van "Cirkel 24", straal 3,5x1,5 Halve grootte van Cirkel 24
6165 (geen geschikte cirkel)
6480 "Cirkel 25", stralen 8x0 en 7x4 Cirkel 25
6574
6574 "Cirkel 26", stralen 7x4 en 8x1 Cirkel 26
6581
Alternatief 1
6574 "Cirkels 27", stralen 7x4 en 8x1 Cirkels 27
6581
Alternatief 2
6574 "Cirkels 28", stralen 7x4 en 8x1 Cirkels 28
6581
6882 "Cirkel 29", stralen 8x2 en 6x6 Cirkel 29
7266
7266 "Cirkel 30", stralen 6x6 en 8x3 Cirkel 30
7383
7383 "Cirkel 31", stralen 8x3 en 7x5 Cirkel 31
7475
8084 "Cirkel 32", stralen 8x4 en 9x0 Cirkel 32
8190
8291 (geen geschikte cirkel)
8576 "Cirkel 33", stralen 7x6 en 9x2 Cirkel 33
8592
Alternatief
8576 "Cirkels 34", stralen 7x6 en 9x2 Cirkels 34
8592
8985 "Cirkel 35", stralen 8x5 en 9x3 Cirkel 35
9093
9794 "Cirkel 36", stralen 9x4 en 7x7 Cirkel 36
9877
9794 "Cirkel 37", stralen 9x4, 7x7 en 10x0 Cirkel 37
9877
100100
10086 "Cirkel 38", double of "Cirkel 7" Cirkel 38
100100
10086 "Cirkel 39", stralen 8x6 en 10x1 Cirkel 39
101101
104102 "Cirkel 40", stralen 10x2, 9x5 en 8x7 Cirkel 40
10695
11387
109103 (geen geschikte cirkel)
116104 (geen geschikte cirkel)
11796 (geen geschikte cirkel)
125105 "Cirkel 41", stralen 10x5, 11x2 en 8x8 Cirkel 41
125112
12888
13097 "Cirkel 42", stralen 9x7 en 11x3 Cirkel 42
130113
Halve grootte van "Cirkel 42", stralen 4,5x3,5 en 5,5x1,5 Halve grootte van Cirkel 42
136106 (geen geschikte cirkel)
14598 (geen geschikte cirkel)
149107 (geen geschikte cirkel)
16299 (geen geschikte cirkel)
164108 (geen geschikte cirkel)
181109 (geen geschikte cirkel)
2001010 (geen geschikte cirkel)
234153 "Cirkel 43", stralen 15x3 en 13x9 Cirkel 43
250139
Halve grootte van "Cirkel 43", stralen 7,5x1,5 en 6,5x4,5 Halve grootte van Cirkel 43

vorige naar boven volgende

Alle tekeningen en figuren copyright © 1978-2009, Zef Damen, Nederland.
Alleen voor persoonlijk gebruik, commercieel gebruik niet toegestaan.

English version English version Laatst vernieuwd: 12-december-2009