Pentagon

Hoe construeer je een pentagon, een regelmatige vijfhoek, ingeschreven in een gegeven cirkel?

1. Begin met de gegeven cirkel.

2. Maak gebruik van de constructie van de horizontale en verticale middellijn om deze lijnen te construeren.

3. Trek een cirkelboog met het middelpunt in het rechter eindpunt van de horizontale middellijn, door het snijpunt van beide middellijnen 2 (dus door het middelpunt van cirkel 1). De boog moet cirkel 1 tweemaal snijden.

4. Trek de verbindingslijn tussen beide snijpunten van boog 3 en cirkel 1. Dit is de middelloodlijn van de rechter helft van de horizontale middellijn, en verdeelt die helft in twee gelijke delen.

5. Trek de verbindingslijn van het bovenste eindpunt van de verticale middellijn en het snijpunt van lijn 4 met de horizontale middellijn.

6. Trek een cirkelboog met het middelpunt in het laatstgenoemde snijpunt (van lijn 4 met de horizontale middellijn), door het middelpunt van cirkel 1. De straal is dus de helft van die van cirkel 1. De boog moet lijn 5 snijden.

7. Trek een cirkelboog met het middelpunt in het eindpunt van de verticale middellijn, door het snijpunt van boog 6 met lijn 5. De boog moet cirkel 1 tweemaal snijden.

8. Trek de verbindingslijn tussen beide snijpunten van boog 7 met cirkel 1. Dit is één zijde van het pentagon.

9. Trek een cirkelboog met het middelpunt op één eindpunt van lijn 8, door het andere eindpunt. De boog moet cirkel 1 een tweede keer snijden.

10. Trek de verbindingslijn tussen het eerste eindpunt van lijn 8 (stap 9) en het tweede snijpunt van boog 9 met cirkel 1.

11. Trek de verbindingslijn tussen het tweede snijpunt van boog 9 met cirkel 1 en het onderste eindpunt van de verticale middellijn.

12. Herhaal stap 9 met de eindpunten van lijn 8 verwisseld, dus gespiegeld ten opzichte van de verticale middellijn.

13. Herhaal stap 10 voor de verwisselde eindpunten, gespiegeld ten opzichte van de verticale middellijn.

14. Herhaal stap 11 voor de verwisselde eindpunten, gespiegeld ten opzichte van de verticale middellijn.

15. De lijnen 8, 10, 11, 13 en 14 vormen samen het te construeren pentagon.

Deze manier van construeren van een pentagon (er zijn ook andere) kan direct worden gebruikt voor de constructie van een decagon, een regelmatige tienhoek. Omdat lijn 8 (één zijde van het pentagon) werd geconstrueerd door beide snijpunten van boog 7 met cirkel 1, ligt het middelpunt van deze boog op gelijke afstanden van die snijpunten. De verbindingslijnen van dit middelpunt met beide snijpunten vormen twee zijden van het decagon.

Het pentagon wordt gekenmerkt door de "gulden snede". Dit is de verhouding tussen twee getallen a en b (a < b), waarvoor de volgende relatie geldt:

                a / b = b / (a + b)

In woorden: de verhouding van het kleine tot het grote is gelijk aan de verhouding van het grote tot het geheel.
In getallen: a / b = 0.618..., b / a = 1 + (a / b) = 1.618... . Zeer wetenswaardige informatie over de gulden snede kan worden gevonden in R. Knott's persoonlijke pagina's (in het Engels).

Als de lengte van een zijde van het pentagon a is, dan is de lengte van een diagonaal b, oftewel: de verhouding tussen een zijde en een diagonaal van een pentagon is gelijk aan de gulden snede.

terug

Copyright © 2001, Zef Damen, Nederland