Cirkel kopiëren

Hoe een cirkel te kopiëren volgens de "strikte" passer-en-liniaal-methode?

1.
Begin met de te kopiëren cirkel (cirkel 1) en bepaal het bestemmingspunt waarnaartoe gekopieerd moet worden (middelpunt van de te construeren cirkel).

Voor dit punt zijn er verschillende mogelijkheden. Als het samenvalt met het middelpunt van de originele cirkel (om wat voor reden dan ook!), dan volstaat een herhaling van de constructie van deze cirkel.

Als het op de cirkel zelf ligt (boven), dan is de constructie triviaal: construeer een cirkel, met het middelpunt op het bestemmingspunt, die door het middelpunt van de originele cirkel gaat.
Als geen van beide het geval is, ligt het bestemmingspunt òf buiten (links), òf binnen de cirkel (rechts). De constructiestappen zijn in essentie gelijk, maar zien er iets anders uit.

2.
Trek de verbindingslijn tussen het middelpunt van cirkel 1 (originele cirkel) en het bestemmingspunt.

3.
Construeer een cirkel, met het middelpunt op het bestemmingspunt, die door het middelpunt van cirkel 1 gaat.

4.
Construeer een cirkel, concentrisch met cirkel 1, die door het bestemmingspunt gaat.

5.
Trek de verbindingslijn tussen het middelpunt van cirkel 1 en één van de snijpunten van cirkels 3 en 4. Verleng deze lijn zonodig totaan cirkel 1 (als ze elkaar nog niet snijden).
Merk op, dat cirkels 3 en 4 een zogenaamde "vesica pisces" vormen (twee gelijke cirkels, die door elkaars middelpunt gaan), en dat de hoek tussen lijnen 2 en 5 60° is.

6.
Construeer een cirkel, met het middelpunt op het snijpunt van lijn 5 en cirkel 1, die door het middelpunt van cirkel 1 gaat.

7.
Verleng lijn 5 (indien nodig!) totaan de andere kant van cirkel 6.

8.
Verleng lijn 2 totaan de andere kant van cirkel 3.

9.
Trek de verbindingslijn tussen het snijpunt van cirkel 6 en lijn 7 (of lijn 5, indien niet verlengd) en het snijpunt van cirkel 3 en lijn 8.

10.
Construeer een cirkel, met het middelpunt op het snijpunt van lijnen 8 en 9, die door het bestemmingspunt gaat.

11.
Trek de verbindingslijn tussen het bestemmingspunt en het snijpunt van cirkels 3 en 10, dat aan dezelfde kant ligt als lijn 5, zoals weergegeven. Verleng deze lijn, indien nodig, totaan lijn 9 (als ze elkaar nog niet snijden).
Cirkels 3 en 10 vormen weer een "vesica pisces", en de hoek tussen lijnen 8 en 11 is 60°.

12.
Construeer tenslotte een cirkel, concentrisch met cirkel 3, die door het snijpunt van lijnen 9 en 11 gaat. Dit is de te construeren cirkel: een kopie van cirkel 1 met het middelpunt op het bestemmingspunt.

In deze constructie is uitsluitend gebruik gemaakt van het trekken van een lijn door twee punten, en het construeren van een cirkel met het middelpunt op een gegeven of geconstrueerd punt, die door een (ander) gegeven of geconstrueerd punt gaat. Dit is in overeenstemming met de "strikte" passer-en-liniaal-methode.

13.
Waarom zijn cirkels 1 en 12 gelijk (hebben dezelfde straal)? Aan de hand van enkele hulplijnen kan dit worden aangetoond.

Hoek p = 60° (tweemaal). AB en DE zijn daarom evenwijdig. Omdat b = c (stralen van cirkel 3) en d = e (stralen van cirkel 6), zijn ook de lijnen BC en FD evenwijdig. Dat betekent, dat hoek r gelijk is aan hoek q (r = q). In driehoek CDE is de som van de hoeken p, q en s gelijk aan 180°, ofwel: s = 180° - p - q. Bij punt D is de som van de hoeken p, r en t eveneens 180° (gestrekte hoek!) en omdat r = q, is t = 180° - p - q. Dus is t = s. Derhalve zijn drieheoeken AFD en DEC congruent (gelijk) (p = p, b = c en t = s). Het resultaat is, dat x = d; lijn d is de straal van cirkel 1 en lijn x van cirkel 12, dat wil zeggen: cirkel 12 is gelijk aan cirkel 1.

terug

Copyright © 2010, Zef Damen, Nederland