Zef Damen Niet passer-en-liniaal constructies (2)

Niet passer-en-liniaal constructie van regelmatige veelhoeken met oneven aantal zijden

Van de vorige pagina blijft deze figuur, waarin een interessante eigenschap van een nonagon (regelmatige negenhoek) te zien is, over. Eén helft van een sector van het nonagon wordt exact opgespannen door 5 lijnstukken van gelijke lengte, kop aan staart, tussen de twee zijkanten ervan. Beginnend met een zijde van het "18-gon" (of octadecagon = regelmatige 18-hoek) zijn 4 cirkels geconstrueerd met (de lengte van) deze zijde als straal en het middelpunt op de genoemde zijkanten. De vraag rijst: is dit alleen waar voor een regelmatige negenhoek, of geldt het ook voor ander veelhoeken?

Laten we eens een heptagon (7 zijden) proberen. Het plaatje laat duidelijk zien, dat een heptagon dezelfde karakteristiek vertoont.
(Dit is overigens niet nieuw! Bekijk bijvoorbeeld de pagina over heptagons op Eric Weisstein's schitterende "World of Mathematics"! Daar zien we dezelfde figuur, en wordt de luciferconstructie genoemd).

En een pentagon? Ja, een pentagon (5 zijden) voldoet ook aan de luciferconstructie-regel. Dit zijn allemaal veelhoeken met een oneven aantal zijden. Hoe zit het met veelhoeken met een even aantal?

Laten we 8 nemen: heeft een octagon ook dezelfde eigenschap? Nee, het plaatje laat zien, dat het bij het octagon niet werkt. De laatste cirkel zou door het centrale middelpunt moeten gaan, maar is duidelijk veel te groot. De cirkel die wel past is veel kleiner (streepjeslijn).

Laten we dus uitzoeken, of de constructie met een aantal evenlange lijnstukken gegeneraliseerd kan worden voor regelmatige veelhoeken met een oneven aantal zijden, maar niet voor die met een even aantal.

Een goede manier om te generaliseren is te beginnen met tellen. Met hoeveel lijnen maak je een 5-, 7-, 9-gon?
aantal zijden     aantal lijnen
          5                    3
          7                    4
          9                    5
          ...
          n                1/2(n + 1)
Hier krijgen we meteen een hint, dat het om oneven aantallen gaat. Met even aantallen zouden we uitkomen op breuken voor het aantal lijnen.

Laten we volgen wat er gebeurt, als we een "n-gon" (een regelmatige veelhoek met n zijden) nemen. De figuur laat een zigzag patroon van lijnen zien van de luciferconstructie, die in de halve sector past. De tophoek at is dus de helft van de sector van de n-gon, ofwel:
     at = 1/2(360°/n) = 180°/n(1)
Omdat de sector een gelijkbenige driehoek is, volgt hieruit:
     a1 = 1/2(180° - at) = 90° - 1/2at(2)
Voor de volgende hoeken kunnen we afleiden:
     a2 = at(3)
     a3 = a1 - a2 = 90° - 1/2at - at = 90° - 3/2at (4)
     a4 = 180° - 2a3 = 180° - 180° + 3at = 3at(5)
     a5 = 180° - a4 - a1 = 180° - 3at - 90° + 1/2at = 90° - 5/2at (6)
     a6 = 180° - 2a5 = 180° - 180° + 5at = 5at(7)
     a7 = 180° - a6 - a3 = 180° - 5at - 90° + 3/2at = 90° - 7/2at (8)
     a8 = 180° - 2a7 = 180° - 180° + 7at = 7at(9)
     a9 = 180° - a8 - a5 = 180° - 7at - 90° + 5/2at = 90° - 9/2at (10)
We hebben nu een iteratie van telkens twee stappen. Als we goed kijken wat er gebeurt, zien we dat elke toegevoegde "lucifer" twee nieuwe hoeken met zich meebrengt, en twee nieuwe aan het lijstje toevoegde formules tot gevolg heeft. De rij stopt, zodra het juiste aantal lijnen (stokjes) is bereikt, volgens het bovenstaande lijstje. Met twee lijnen hebben we: a1 = at en n = 3 (gelijkzijdige driehoek), met drie lijnen: a3 = at en n = 5 (pentagon), met vier lijnen: a5 = at en n = 7 (heptagon), enzovoort. Het is ook duidelijk, dat hoeken met even nummer niet gelijk kunnen worden aan de tophoek, omdat ze er een veelvoud van zijn (behalve a2, maar in dit geval is a1 = a2 = 60°). Als we de oneven genummerde hoeken generaliseren, krijgen we:

     ...
     at = 90° - (n - 2)/2at(11)
en dat is hetzelfde als:
     at = 90° - n/2at + 2/2at(12)
     n/2at = 90°(13)
     at = 180°/n(14)
en dit is inderdaad waarmee we gestart zijn: de correcte tophoek van een (halve) sector van het n-gon (zie (1)).

Als gevolg van dit alles zijn we nu in staat een nieuw constructiegereedschap te definiëren voor alle regelmatige veelhoeken met een oneven aantal zijden! Het is voor te stellen als bestaande uit twee "benen", die aan één eind scharnierend aan elkaar vastzitten, ieder met een smalle sleuf in de lengterichting, en een aantal "armen" van gelijke lengte, kop aan staart aan elkaar bevestigd, ook scharnierend. De scharnierpunten van de armen glijden in de sleuven van de benen, om en om. Vanaf de top van de twee benen worden de armen één voor één in de sleuven geschoven, telkens wisselend van been. Wanneer het juiste aantal armen voor de veelhoek met het gewenste aantal zijden is aangebracht, wordt het draaipunt van de laatst ingeschoven arm precies in lijn gebracht met het draaipunt van de benen. Er is nog één complicerende factor: de eerste arm (verste weg van dit draaipunt) moet loodrecht blijven op de (virtuele) verbindingslijn van het midden ervan en het scharnierpunt van de benen.

Als dit allemaal op de juiste wijze is uitgevoerd, is de hoek, die de benen met elkaar maken, gelijk aan de tophoek van één sector van de regelmatige veelhoek met het dubbele aantal zijden, een 2n-gon dus. Als we dit combineren met een cirkel van de gewenste afmeting, kan het "eenvoudig" worden gebruikt om de constructie van het n-gon te voltooien. In het tijdperk van de computer is dit natuurlijk een nogal onhandig apparaat, maar het is desondanks een mechanisch gereedschap, dat in de geest van de oude Grieken en hun passer-en-liniaal constructies niet misstaat.

Vorige pagina

Copyright © 2002, Zef Damen, Nederland

terug

English version English version Laatst vernieuwd: 10-november-2002



Sinds 1-februari-2005